Ejercicio Aplicaciones de la ecuación Aplicaciones de la ecuación

Partícula en una caja. Cuantización de la Energía

Para comenzar vamos a estudiar el sistema de una partícula en una caja de paredes impenetrables. Para simplificar las cosas vamos a estudiar el sistema en una dimensión.

Para representar la caja podemos suponer que en las paredes existe un potencial infinito que no permite que la partícula escape y que dentro de la misma la partícula puede moverse libremente. Podemos suponer que la caja esta situada de manera que el potencial V(x) esta dado por

Condiciones de Frontera

La función de ondas debe ser continua en todos los puntos, y como la partícula no puede penetrar del otro lado de la caja

entonces

en las paredes de la caja.

Tambien necesitamos que la primera derivada de la función de ondas sea continua en la frontera.

La ecuación de Schrödinger dentro de la caja es la ecuación para una partícula libre:

cuyas soluciones estan dadas por

Podemos comprobar directamente estas soluciones por sustitución en la ecuación de Schrödinger.

La solución general es pues una superposición de ambas soluciones.

La condición de frontera implica inmediatamente que B=0, pues . Por otra parte siempre, pero la condición

implica que

Esta condición solo se satisface para ciertos valores discretos de la Energía tales que

Si despejamos la energía encontramos que los valores posibles son

• Los valores de la energía representan los posibles niveles de energía del sistema.
• Los niveles de energía estan cuantizados y son discretos. Esta es una característica de los sistemas confinados.
• El número es llamado número cuántico
• La exclusión de E=0 es una consecuencia de la mecánica cuántica.
• La incertidumbre en la posición de la partícula dentro de la caja implica que

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