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Aplicación a la molécula de Amoníaco

La molecula de amoníaco NH puede tomar dos ordenamientos geométricos distintos dependidendo de la posición del átomo de Nitrogéno respecto del eje de giro de la molécula (i.e. respecto del momento angular) como se ve en la figura:

 
Figura 12: Los dos estados de la molécula de Amoníaco

Por supuesto la molécula tiene otros movimientos, como el movimiento de traslación o vibración, pero por el momento vamos a suponer que se puede describir mediante los dos estados mencionados arriba.

• El estado de la molécula es una superposición del estado y del estado :



• Como vimos en la sección anterior, la ecuación de Schrödinger se convierte en el sistema de ecuaciones:





• En forma matricial:



• A la matriz se le llama matriz hamiltoniana. Se puede demostrar que la condición de que la probabilidad se conserve (la suma de las probabilidades siempre es 1) implica que



• En general la matriz H puede depender del tiempo, pero vamos a considerar casos en los que todas sus entradas son constantes en el tiempo.
• Supongamos que sabemos con certeza que el sistema se encuentra solo en un estado, digamos , entonces



entonces el sistema de ecuaciones se reduce a una ecuación:



cuya solución es



que es la solución que hemos encontrado para un estado de energía definida !. Por esta razon a la matriz H tambien se le puede llamar matriz de energía.

• Regresando a nuestro problema, tenemos primero que conocer los elementos de matriz de para poder resolver el sistema de ecuaciones. Estos elementos de matriz dependen por supuesto del potencial V(x) y de las funciones de onda , sin embargo podemos hacer algunas suposiciones que nos permiten resolver parcialmente el problema.
• Debido a la simetría del problema esperamos que





• El sistema de ecuaciones entonces es





• Sumando las ecuaciones obtenemos



cuya solución es



• Si restamos las ecuaciones obtenemos



cuya solución es



a y b son las constantes de integración.

• De las ecuaciones anteriores encontramos entonces:





vemos que son iguales excepto por el signo del segundo término.

• >Qué significan físicamente las ecuaciones anteriores?
• Supongamos primero que b=0, entonces ambos términos son iguales, es decir que tanto como cambian con la misma frecuencia y por lo tanto cambia con la misma frecuencia



es decir que el sistema esta en un estado de energía definida



y que las amplitudes de proabilidad de que el átomo de Nitrógeno este ``arriba'' o ``abajo'' son iguales.

• Existe otro estado estacionario definido por



con energía



En este caso .

• Por lo tanto tenemos dos niveles de energía posibles.



• Supongamos ahora que sabemos que para t=0 la molécula se encuentra en el estado , es decir que



>Cuál es la probabilidad de que la molécula se encuentre en el estado al tiempo t?

• Nuestra condición inicial nos dice cuales son los valores de a y b. En efecto poniendo t=0 en las soluciones para y tenemos



de donde obtenemos



• Por lo tanto la solución en este caso es





• La probabilidad de encontrar a la molécula en el estado , i.e. es entonces

 
Figura: Probabilidades de que la molécula de amoníaco este en el estado (Nitrógeno arriba), o (Nitrógeno abajo).

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