Estados Arbitarios. Funciones base. Curso de Introducción a El oscilador armónico

El átomo de Hidrógeno

Ahora pasamos al estudio del átomo de hidrógeno. El mas simple de los átomos.

La fuerza que mantiene al electrón unido al proton en el átomo es la fuerza de Coulomb. El potencial en este caso es

En este caso el problema tiene simetría esférica. Esto significa que la dirección del momento angular puede tomar cualquier orientación y estar bien definido al mismo tiempo que la energía. Esto nos permite separar la variable radial r de las variables angulares en la ecuación de Schrödinger y reducir el problema a un problema unidimiensional.

El hecho de que el sistema tenga momento angular significa que existe una fuerza centrífuga proveniente del giro del electrón. Es decir, de su momento angular. En la siguiente figura mostramos el potencial efectivo en el problema del átomo de hidrógeno.

 
Figura 11: Potencial efectivo en la dirección radial para el átomo de hidrógeno

La ecuación de Schrödinger en este caso (tridimensional) es

Podemos separar las variables y escribir

entonces, al escribir el operador en coordenadas esféricas encontramos la ecuación radial

de donde vemos explícitamente el potencial centrífugo

Las soluciones para E<0 estan confinadas y corresponden a valores discretos de la energía dados por

Para cada valor del número cuántico principal n, los valores del momento angular l pueden tomar los valores

De hecho el número cuántico principal es la suma

de manera que para cada n existen diferentes valores de l y n' que nos dan el mismo n y por lo tanto, la misma energía. A esto se le llama degeneración.

La degeneración del nivel n-ésimo es .

Ademas la proyección m del momento angular sobre el eje z tambien puede tomar los valores

Nuestras funciones de onda estan caracterizadas por tres números cuánticos

Según la espectroscopía tradicional los diferentes estados se denotan mediante el número cuántico principal n seguido de una letra (s,p,d,f,g,...) que indican el valor de l

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