Nueva visita a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

• Hasta ahora nos hemos dedicado al estudio de la ecuación estacionaria (independiente del tiempo) de Schrödinger. Esto lo hemos podido hacer fácilmente ya que hemos considerado que la energía es constante y que por lo mismo la función de onda total se puede escribir como

  

  

• En el caso mas general podemos suponer que la función de onda total se puede escribir como una superposición de estados estacionarios de energía definida cuyos coeficientes dependen del tiempo:

  

• Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger tenemos

  

  

• Igualando los coeficientes de :

  

• Esta ecuación la podemos escribir como

  

  que podemos integrar

  

  

  

  

• Exponenciando ambos lados obtenemos y despejando :

  

  nos da la amplitud de probabilidad de encontrar al sistema en el estado con energía en el instante .

  nos da las amplitudes de probabilidad iniciales (al tiempo t=0).

• Por lo tanto nuestra función de onda la podemos escibir como

  

• En este caso la energía del sistema no esta definida, ya que el estado físico es una superposición de estados de diferente energía . Para calcular el valor esperado de la energía usamos la fórmula:

  

  si las funciones de onda estan normalizadas, entonces

  

  y por lo tanto

  

  y si la función total tambien esta normalizada, entonces y

  

  El valor esperado de la energía es un promedio pesado por las amplitudes de probabilidad . Ademas recordemos que

  

  por lo que

  

  i.e. el valor esperado de la energía no depende del tiempo.